Laboratórios - Inventariação e Bioestatística

AVISOS: 

• (16 Julho) -- O exame de dia 23 de Julho realiza-se às 9h00, por decisão do Conselho Pedagógico. Está afixada uma folha de inscrições junto ao Departamento de Matemática.
• (16 Julho) -- O Professor estará disponível para tirar dúvidas nas seguintes datas e horas antes da 3a. data de exame:

  4ª Feira, 18 Julho	11:00 às 12:00
  6ª Feira, 20 Julho	15:00 às 16:00

• (3 Julho) -- O enunciado do segundo exame encontra-se aqui.
• (27 Junho) -- Uma proposta de resolução do segundo Teste encontra-se aqui.
• (12 Junho) -- As datas e horas de exame encontram-se mais abaixo nesta página.
• (12 Junho) -- o formulário está aqui.
• (12 Junho) -- O Professor estará disponível para tirar dúvidas nas seguintes datas e horas antes da 2a. data de exame:

  6ª Feira, 22 Junho	10:00 às 11:00
  4ª Feira, 27 Junho	15:00 às 16:00
  6ª Feira, 29 Junho	15:00 às 16:00

• (5 Junho) -- O Professor estará disponível para tirar dúvidas nas seguintes datas e horas:

  4ª Feira, 6 Junho	10:00 às 11:00
  6ª Feira, 8 Junho	15:00 às 16:00
  2ª Feira, 11 Junho	15:00 às 16:00

• (24 Abril) -- O formulário terá por base o que está aqui.
• (24 Abril) -- Como foi combinado na aula, o teste realiza-se na quarta-feira, dia 2 de Maio, pelas 16h00.
• (24 Abril) -- Haverá um horário de dúvidas na segunda-feira, dia 30 de Abril, das 14h30 às 16h00.

DESTINATÁRIOS: Estudantes da licenciatura em Biologia pré-Bolonha.
OBJECTIVOS: Aprofundamento dos conhecimentos no campo das metodologias estatísticas de recolha, análise e tratamento de dados. Será utilizado intensivamente o programa informático R, de Software Livre e disponível gratuitamente na Internet, aqui.
PRÉ-REQUISITOS: Disciplinas de Matemática I, Matemática II e Estatística, da Licenciatura em Biologia (pré-Bolonha) do ISA.
DURAÇÃO: 14 semanas efectivas, sendo a carga semanal oficial de 0 aulas teóricas e 2 aulas práticas de 3 horas.

Aprovação na disciplina:

• Primeira chamada: 12 de Junho, 2007.
• Segunda chamada: 2 de Julho, 2007.
• Época extraordinária de transição para o regime de Bolonha: 23 de Julho, 2007.

Calendario: 27 Fevereiro a 6 Junho 2007

Horario: 3as.-feiras, das 10h30 às 12h00 (Sala P11b) e 4as.-feiras das 13h30 às 15h00 (Sala P11a).

• Enunciado do 1o. Teste (2/5/07)
  • Uma resolução do primeiro teste.
• Enunciado do 2o. Teste (12/6/07)
  • Uma resolução do segundo teste.
• Enunciado do 1o. Exame (12/6/07)
• Enunciado do 2o. Exame (2/7/07)
• Enunciado do Exame de Época Especial (transição para Bolonha) (23/7/07)

1. Introdução
   • Revisão de conceitos.
   • Revisão do programa estatístico R.
2. A Regressão Linear.
   • Revisão de regressão linear simples como técnica descritiva.
   • O Modelo da Regressão Linear Simples para fins inferenciais.
   • Inferência na Regressão Linear Simples.
   • Transformações linearizantes.
   • Validação dos pressupostos do Modelo e outros diagnósticos.
   • A Regressão Linear Múltipla num contexto descritivo: geometria subjacente.
   • A Regressão Linear Múltipla: o contexto inferencial.
   • A Regressão Polinomial como caso particular da Regressão Múltipla. [Não foi dado]
   • Modelos e Submodelos: comparações formais.
3. Delineamento de experiências e Análise de Variâncias.
   • Conceitos básicos no delineamento de experiências.
   • Modelos básicos de Análise de Variância: 1 factor, 2 factores sem e com interacção.
   • O Modelo Linear como generalização dos modelos ANOVA e de Regressão.
   • Análises de Covariância: a comparação de regressões aparentadas. [Não foi dado]
4. Conceitos de amostragem e métodos de estimação de abundância populacional. [Não foi dado]
   • Amostragem Aleatória Simples e Estratificada.
   • Métodos de captura-recaptura.
   • Métodos baseados em transectos lineares.
5. Técnicas descritivas de Estatística Multivariada.
   • Análise em Componentes Principais: conceitos geométricos; as componentes principais; biplots; prevenções.
   • Análise Discriminante Linear: conceitos geométricos; critérios de discriminação; os eixos discriminantes; relações com ANOVA. [Não foi dado]
   • Análises Classificatórias: classificação hierárquica e não-hierárquica; critérios de classificação; critérios de agrupamento nas Análises Classificatórias hierárquicas; um método não-hierárquico. [Não foi dado]

• Chambers, J.M. & Hastie, T.J. (1992), Statistical Models in S. Wadsworth & Brooks/Cole.
• Draper, N.R. & Smith, H. (1998), Applied Regression Analysis (3a. ed.). John Wiley & Sons.
• [EM] Krebs, C.J. (1999), Ecological Methodology (2a. ed.). Addison Wesly Longman, Inc.
• [DAAG] Maindonald, J. & Braun, J. (2003), Data Analysis and Graphs using R. Cambridge University Press. (Cota BISA: U10-722)
• [NKNW] Neter, J.; Kutner, M.; Nachtsheim, C.; & Wasserman, W. (1996), Applied Linear Regression Models . Irwin.
• [MASS] Venables, W.N. & Ripley, B.D. (2002), Modern Applied Statistics with S (4a. ed.) Springer-Verlag.

Folhas de apoio da disciplina (Exercícios)

• Exercícios de Regressão Linear
• Exercícios de Análise de Variância
• Exercícios de Análise em Componentes Principais

Sumários das aulas:

• Apresentação da disciplina. Revisão do programa informático R: objectos no R (constantes, vectores e matrizes de tipo numérico, caracter e lógico; factores). A indexação de vectores, factores e matrizes. Os comandos ls, rm, seq, rep, length e dim.

  Material de apoio: Capítulo 1, Referência DAAG.

• Os objectos R data frames: natureza e forma de criação. Os comandos R summary, mean, var, cor. Os comandos gráficos length e dim. A Regressão Linear Simples como técnica descritiva: o problema, o critério de ajustamento, a solução. Significado do declive da recta de regressão. Aplicação aos dados women do R: o comando lm e o comando gráfico abline.

  Material de apoio: Capítulos 1 e 5, Referência DAAG.

• Aplicação: Regressão com os dados iris do R (medições morfométricas sobre 150 lírios). Os comandos R fitted e residuals. As três Somas de Quadrados e a fórmula SQT=SQR+SQRE. O Modelo da Regressão Linear Simples. O Coeficiente de determinação R^2 e o seu significado. A caminho da inferência na Regressão: O Modelo da Regressão Linear Simples e as primeiras consequências.

  Material de apoio: Capítulo 5, Referência DAAG.

• A inferência na Regressão: os estimadores dos parâmetros da recta de regressão e as suas distribuições de probabilidades. O problema da variância dos erros aleatórios. O QMRE como estimador dessa variância e a distribuição associada. O efeito de substituir a variância dos erros pelo seu estimador, na distribuição do estimador do declive.

  Material de apoio: Capítulo 2, Referência NKNW.

  TPC: Exercícios 1 alíneas a)-j) + p), Exercícios 2, 3 e 4 .

• A inferência na Regressão: testes de hipóteses a valores do declive (beta) e da ordenada na origem (alfa) da recta de regressão. Testes bilaterais e testes unilaterais. A informação necessária no programa R: o comando summary aplicado a objectos da classe lm. Testes de hipóteses associados aos dados dos lírios (iris).

  Material de apoio: Capítulo 2, Referência NKNW.

• A inferência na Regressão: intervalos de confiança para o declive (beta) e da ordenada na origem (alfa) da recta de regressão. O comando confint do programa R. Intervalos de confiança para o valor esperado de Y associado a um dado valor de x, e intervalos de predição para uma observação indivudal de Y associada a um dado valor de x. O comando predict do R. Aplicação aos dados dos lírios (iris).

  Material de apoio: Capítulo 2, Referência NKNW.

  TPC: Exercícios 1 alíneas k)-n), Exercício 5 (excepto alíneas h) e i)) .

• A validação dos pressupostos do Modelo de Regressão Linear: resíduos, resíduos estandardizados, resíduos Studentizados e respectivas propriedades sob o Modelo. Os comandos residuals, rstandard e rstudent do R. Estudo gráfico dos resíduos na validação dos pressupostos do modelo: o comando plot do R aplicado a um objecto da classe lm. Estudo dos resíduos no exemplo dos lírios (dados iris). Transformações estabilizadoras da variância (família Box-Cox). Transformações linearizantes e o seu papel. Alguns modelos não-lineares importantes em Biologia e respectivas transformações linearizantes: o modelo de crescimento exponencial; as relações alométricas (potência); modelo hiperbólicos de rendimento per capita; modelo de Michaelis-Menten (ou de rendimento do Shinozaki e Kira); modelo de crescimento logístico.

• Um exemplo de transformações linearizantes: a relação alométrica. Motivação e interpretação da relação alométrica. Isometria e alometria. A linearização da relação alométrica. Aplicação ao conjunto de dados mammals do pacote MASS: relação alométrica entre pesos do cérebro e pesos do corpo para 62 espécies de mamíferos. Intervalos de confiança para o declive e estudo dos resíduos.
• Ainda a inferência estatística: o teste de ajustamento global (o "teste F"). A justificação do teste e da respectiva estatística de teste. A justificação da Região Crítica unilateral direita. O teste de ajustamento global aplicado aos exemplos considerados anteriormente.

  Material de apoio: Capítulo 2, Referência NKNW.

  TPC: Exercícios 6, 7 e 8 .

• Os fundamentos geométricos da Regressão Linear: as variáveis como vectores num espaço euclideano n-dimensional. O subespaço-coluna da matriz do modelo, X. Projecções ortogonais. As fórmulas matriciais para o vector dos coeficientes estimados e para o vector dos valores ajustados de Y. A fomula fundamental da Regressão (SQT=SQR + SQRE) como uma aplicação do Teorema de Pitágoras. O coeficiente de Determinação como o quadrado do coseno do ângulo entre os vectores (centrados) dos valores observados e ajustados de Y.

• A Regressão Linear Múltipla: conceitos fundamentais; o Modelo; o ajustamento via projecção ortogonal.

• A Regressão Linear Múltipla. O problema no espaço em que as variáveis definem os eixos, e no espaço em que os indivíduos observados definem os eixos. Os estimadores de mínimos quadrados:a sua fórmula e a interpretação do seu significado. A caminho da inferência na Regressão Múltipla: a distribuição dos estimadores dos parâmetros beta. Um exemplo: os dados de mdeições sobre folhas de videira (objecto clopes, dado nas aulas).

Material de apoio: Capítulo 6, Referência DAAG.

TPC: Exercícios 11 e 12. .

• A inferência na Regressão Linear Múltipla. Distribuição dos estimadores dos betas: testes e intervalos de confiança. Os dados clopes. Coeficiente de Determinação na Regressão Múltipla. O teste de ajustamento global na Regressão Múltipla. Distribuição dos resíduos na Regressão Múltipla. As transformações dos resíduos: resíduos estandardizados e resíduos studentizados.

Material de apoio: Capítulo 6, Referência NKNW.

• Estudo dos resíduos na Regressão Linear Múltipla: os dados clopes. Prevenções relativas à transformação de variáveis. Modelos e submodelos. O problema. O princípio da parcimónia na modelação. Teste para determinar se um dado submodelo difere significativamente de um modelo: o teste a modelos encaixados (teste F parcial).

Material de apoio: Capítulo 6, Referência NKNW.

TPC: Exercício 16a)b)d). .

• Modelos e submodelos. Revisão do teste a modelos encaixados (teste F parcial). Aplicação (dados do Exercício 13) no R. A selecção de submodelos quando não existe um submodelo candidato pré-definido. A pesquisa completa e suas limitações. Algoritmos de selecção de submodelos: o algoritmo de exclusão sequencial (backward elimination). Exemplo no R (Exercício 13c)).

• Critérios de desempenho de um modelo: o coeficiente de determinação e o coeficiente de determinação ajustado. O Critério de Informação de Akaike (AIC). Utilização do AIC como critério de paragem no algoritmo de selecção de submodelos no R. O algoritmo de inclusão sequencial (forward selection). Algoritmos de exclusão e/ou inclusão sequenciais. A função step no R. Exemplo (Exercício 13c)).

Material de apoio: Capítulo 8, Referência NKNW.

• Ainda a inferência na Regressão Linear Múltipla: Intervalos de Confiança para combinações lineares dos parâmetros beta (que inclui, como casos particulares, um beta individual, a diferença ou soma de dois diferentes parâmetros beta; o valor esperado da variável resposta para um dado conjunto de valores das variáveis preditoras). Resolução do Exercício 14a)b)c)d)e).

• Revisão para o teste. Resolução do Exercício 14f). A Análise de Variância: introdução, factores e níveis do factor; o Modelo de ANOVA a 1 Factor; a relação do Modelo com o Modelo de Regressão Linear Múltipla; o problema da sobreparametrização do modelo e as formas de resolver o problema.

Material de apoio: Capítulo 11, Referência NKNW.

• A Análise de Variância a 1 Factor: exemplo (dados iris). A natureza da matriz X do modelo nos modelos ANOVA a 1 factor. A natureza específica dos gráficos de resíduos no modelo ANOVA a 1 Factor. A distribuição de Tukey para a Amplitude Studentizada.

Material de apoio: Capítulo 11, Referência NKNW.

• Comparação múltipla de médias (Tukey) no caso de ANOVAs a um factor: derivação dos intervalos de confiança e sua obtenção no R. Modelos ANOVA com dois factores: o modelo sem interacção. Os testes aos efeitos de cada factor. A decomposição da Soma de Quadrados do Modelo em parcelas associadas a cada factor. Resolução do Exercício 4 (dos Exercícios de ANOVA).

Material de apoio: Capítulo 11, Referência NKNW.

• Revisão do Modelo ANOVA com dois factores sem interacção. As comparações múltiplas de médias num modelo a dois factores sem interacção. Resolução do Exercício 4 (dos Exercícios de ANOVA) (incluíndo os comandos TukeyHSD e respectivo plot). Modelo ANOVA a dois factores com interacção: motivação, os efeitos de interacção, o modelo. Os testes à existência de efeitos de cada um dos três tipos previstos no modelo. A natureza das estatísticas dos testes.

Material de apoio: Capítulo 11, Referência NKNW.

• Resolução do Exercício 6 (ANOVA) - modelo a dois factores com interacção (incluíndo os comandos TukeyHSD e respectivo plot).
  Métodos de Estatística Multivariada. Conceitos introdutórios: notação; as representações alternativas de uma matriz de dados nxp: a representação tradicional no espaço p-dimensional e a representação alternativa no espaço n-dimensional; conceitos geométricos e conceitos estatísticos na representação no espaço n-dimensional; a matriz de variâncias-covariâncias; valores e vectores próprios; propriedades dos valores e vectores próprios de matrizes simétricas.

Análise em Componentes Principais. Objectivo: redução de dimensionalidade preservando o máximo de informação. A centragem prévia dos dados e os seus efeitos na respectiva representação gráfica. O critério a optimizar: combinações lineares das variáveis originais de variância máxima. A solução do problema e o papel dos vectores e valores próprios da matriz de covariâncias. A ortogonalidade das Componentes Principais. O papel das projecções ortogonais nos dois espaços (p- e n-dimensional). Os dados lavagantes.

Análise em Componentes Principais. O significado dos valores próprios da matriz de covariância. A proporção de variabilidade total explicada por um subconjunto de Componentes Principais. A Análise em Componentes Principais dos dados lavagantes: a análise do primeiro plano principal e da qualidade da representação da nuvem de pontos nesse plano. Correlações entre variáveis originais e Componentes Principais: a fórmula geral e o caso particular dos dados lavagantes, com a interpretação da natureza das duas primeiras CPs. A dependência da ACP em relação às unidades de medida das variáveis. A Análise em Componentes Principais dos dados normalizados: ACP sobre a matriz de Correlações.

Análise em Componentes Principais. Prática de ACP: Comparação de ACPs dos dados lavagantes, quer sobre a matriz de Covariâncias, quer sobre a matriz de Correlações. Características da nuvem de pontos subjacentes; interpretação das CPs; características do feixe de vectores representativos das variáveis centradas (ou centradas e normalizadas) no espaço n-dimensional. O Biplot como síntese da informação essencial relativa aos dados.

GREVE GERAL