Matemática I

(Licenciatura em Biologia)

Semestre I - 2005/2006

AVISO: o exame de época especial (Bolonha) realiza-se no dia 17 de Julho de 2007 na sala A1 com início às 9h.

Destinatários:	Estudantes da licenciatura em Biologia.
Objectivos:	Compreensão dos conceitos fundamentais de Álgebra Linear, cálculo de primitivas e cálculo de integrais em R, amadurecimento da formação matemática.
Pré-requisitos:	Formação matemática a nível do ensino secundário.
Duração:	13 semanas, sendo a carga semanal de 3 aulas teóricas de 1 hora e 2 aulas práticas de 1.5 horas.
Frequência:	Obtida com pelo menos 75% de presenças nas aulas.
Avaliação:	Contínua. Três testes a realizar durante o semestre (24 de Outubro, 5 de Dezembro e 22 de Dezembro, com cotações de 4.5, 7 e 7 valores, respectivamente) e um trabalho (a entregar até 22 de Dezembro) com a cotação de 1.5 valores. Fica aprovado o aluno que obtenha pelo menos 10 valores na soma das classificações obtidas nos três testes e no trabalho e pelo menos 2.6 valores no último teste. A classificação final será o valor dessa soma. Por exame final. Duas provas escritas (11 de Janeiro e 26 de Janeiro). Oral facultativa para os alunos cuja classificação na prova escrita é superior a 15 valores. Caso não compareça à oral, a classificação final será de 15 valores. Todo o aluno poderá optar pela modalidade de exame final.
Correcções dos testes e exames:	24 de Outubro, 5 de Dezembro, 22 de Dezembro 11 de Janeiro, 26 de Janeiro
Exemplos de enunciados e trabalhos:	Enunciado e trabalho Enunciado e trabalho

Docente

Isabel Martins

Programa (Program)

cálculo matricial

sistemas de equações lineares
matrizes e vectores
multiplicação e invertibilidade de matrizes

espaços vectoriais

espaços vectoriais
dependência e independência linear
bases e dimensão de espaços vectoriais

determinantes

determinante de uma matriz
teorema de Laplace
produto externo e produto misto de vectores

valores e vectores próprios

valores e vectores próprios
diagonalização de matrizes

primitivas

definição
primitivação por partes, substituição e decomposição

cálculo integral em R

integral definido

Bibliografia/Material de apoio

Matemática I, Apontamentos editados pela Associação de Estudantes do ISA, 2004.
H. Anton e C. Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version, John Wiley & Sons, Inc., N.Y., 2000. (Biisa, Cota: U10-532; U10-553)
C. Sarrico Análise Matemática, Leituras e Exercícios Gradiva 1997.
C. Neuhauser, Calculus for Biology and Medicine, Pearson Education, Inc., 2004 (Biblioteca do Departamento de Matemática, Cota: 672-62)
Material de apoio às aulas teóricas:

Material de apoio às aulas práticas:

Sumários

Semana 1 (26 a 30 de Setembro, 6h)

Apresentação da disciplina.
Equação linear: definição; interpretação geométrica em R² e R³.
Sistema de equações lineares: definição; classificação em termos do conjunto de soluções; interpretação geométrica em R² e R³; método de eliminação de Gauss.

Semana 2 (3 de Outubro a 7 de Outubro, 5h)

Resolução de exercícios sobre a matéria dada.
Matrizes: igualdade de matrizes; operações soma e multiplicação escalar e respectivas propriedades; produto de uma matriz por um vector e interpretação geométrica para matrizes cujas colunas são vectores de R² e R³; operação multiplicação de matrizes.
Sistema de equações lineares: equações matriciais; interpretação geométrica quando as colunas da matriz dos coeficientes são vectores de R² e R³.

Semana 3 (10 a 14 de Outubro, 6h)

Resolução de exercícios sobre a matéria dada.
Matrizes: propriedades da operação multiplicação de matrizes; comparação com as propriedades da multiplicação de números reais; equivalência de matrizes.
Matrizes quadradas: matrizes com estruturas particulares; potência de expoente inteiro não negativo; inversa de uma matriz e propriedades; potência de expoente inteiro negativo.
Matrizes: transposta de uma matriz e propriedades.
Sistema de equações lineares: equações matriciais; interpretação geométrica quando as colunas da matriz dos coeficientes são vectores de R² e R³.

Semana 4 (17 a 21 de Outubro, 6h)

Resolução de exercícios sobre a matéria dada.
Espaço vectorial: definição e exemplos.

Semana 5 (24 a 28 de Outubro, 6:00h)

Realização do 1º teste.
Subespaço vectorial: definição, propriedades e descrição geométrica em R² e R³.
Espaço nulo de uma matriz.
Combinação linear de vectores.
Espaço das colunas de uma matriz.
Resolução de exercícios sobre a matéria dada.

Semana 6 (31 de Outubro a 4 de Novembro, 5:00h)

Espaço das linhas de uma matriz.
Espaço gerado por um conjunto não vazio de vectores.
Mostra-se que um conjunto com menos do que m vectores de R^mnão gera R^m.
Dependência e independência lineares de vectores: definição, propriedades, interpretação geométrica em R² e R³.
Mostra-se que um conjunto com mais do que m vectores de R^mé linearmente dependente.
Resolução de exercícios sobre a matéria dada.

Semana 7 (7 a 11 de Novembro, 6:00h)

Base de um subespaço vectorial: definição e propriedades. Dimensão de um subespaço vectorial.
Determinação de uma base para o espaço nulo de uma matriz.
Cardinalidade mínima de um conjunto de vectores gerador e cardinalidade máxima de um conjunto de vectores linearmente independente de um subespaço vectorial de dimensão n.
Determinação de uma base para o espaço das colunas de uma matriz.
Relação entre as dimensões dos espaços nulo, das colunas e das linhas de uma matriz.
Característica de uma matriz.
Determinação de bases para um subespaço vectorial de dimensão n.
Resolução de exercícios sobre a matéria dada.

Semana 8 (14 a 18 de Novembro, 6:00h)

Discussão de sistemas de equações lineares e invertibilidade de matrizes a partir da característica.
Resolução de exercícios sobre a matéria dada.
Propriedades dos determinantes.
Cálculo do determinante: algoritmo baseado no método de eliminação de Gauss; teorema de Laplace.
Adjunta de uma matriz.
Cálculo da inversa de uma matriz invertível a partir do determinante e da adjunta.
Resolução de exercícios sobre a matéria dada.

Semana 9 (21 a 25 de Novembro, 6:00h)

Vector próprio e valor próprio de uma matriz.
Subespaço próprio e multiplicidade geométrica de um valor próprio.
Equação característica de uma matriz e multiplicidade algébrica de um valor próprio.
Propriedades de valores e vectores próprios.
Diagonalização de matrizes.

Semana 10 (28 de Novembro a 2 de Dezembro, 4:30h)

Exemplos de modelos matriciais para populações. Matriz de Leslie.
Formação de grupos de trabalho e entrega dos enunciados dos trabalhos.
Resolução de exercícios sobre a matéria dada.

Semana 11 (5 a 9 de Dezembro, 4:30h)

Realização do 2º teste.
Funções arco-seno, arco-cosseno e arco-tangente.
Primitiva de uma função.
Regras de primitivação da soma de funções e do produto de uma função por um escalar.
Primitivas imediatas.

Semana 12 (12 a 16 de Dezembro, 6:00h)

Métodos gerais de primitivação: por partes, decomposição e substituição.
Integral definido: definição; fórmula fundamental do cálculo integral; propriedades; determinação de áreas.

Semana 13 (19 a 22 de Dezembro, 6:00h)

Resolução de exercícios sobre a matéria dada.
Realização do 3º teste.

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