Matemática II

(Licenciatura em Biologia)

Semestre 2 - 2004/2005



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Destinatários:

Estudantes inscritos na licenciatura em Biologia.

Objectivos:

Compreensão dos conceitos fundamentais de cálculo diferencial e integral de funções a uma  e várias variáveis reais. Introdução às equações diferenciais ordinárias no contexto da biologia, nomeadamente no  estudo de alguns modelos simples de crescimento contínuo de populações

Pré-requisitos:

Formação matemática a nível do Ensino Secundário e Matemática I

Duração:

14 semanas efectivas, sendo a carga semanal de 3 aulas teórica-práticas de 1h30m e 1 aula prática de 1h30m

Frequência:

Obtida com pelo menos 75% de presenças nas aulas

Avaliação:


Por testes.

Dois testes a realizar durante o semestre com a cotação de 20 valores e a duração de 1h30m cada.  O primeiro durante o período lectivo  (19 de Abril) e o segundo coincidente com 1ª data de exame da época normal de exames (24 Junho). Fica aprovado todo o aluno que obtenha uma classificação superior ou igual a 7 valores em cada um dos testes, sendo que a média das classificações não  pode ser inferior a 9.5 valores. A classificação final será o valor dessa média arredondada ao inteiro mais próximo. Caso o aluno não tenha obtido aprovação poderá ainda realizar o exame final na 2ª data de  exame da época normal de exames.


Por exame final.

Três provas escritas: duas em alternativa na época normal, (24 de Junho e 11 de Julho) e uma na época de recurso (22 de Julho). Cada prova com a duração de 2h30m. Oral facultativa para os alunos cuja classificação na prova escrita é superior a 15 valores. Caso não compareça à oral a classificação final será de 15 valores.

Todo o aluno poderá optar pela modalidade de exame final. Caso se apresente a alguma prova de exame final, anula eventuais classificações obtidas em testes.

Enunciado e resolução do 1º teste
enunciado e resolução do 2º teste
Enunciado e resolução da 2ª chamada
Enunciado do recurso


    Estatísticas: 50% de aprovaçoes sobre o total de alunos admitidos a exame
                            75% de aprovações sobre o total de alunos que vieram a pelo menos uma das épocas de avaliação



 

Docente:




Atendimento a alunos:

  • 3as feiras das 10h às 11h30m   (Período de aulas)

  •  Dias 16, 17, 22 e 23 de Junho das 10h às 12h  (Horário de dúvidas para a 1ª Chamada / 2ºTeste dia 24/6)

  • Dias 1, 4, 6, 8 de Julho das 10h às 12h (Horário de dúvidas para a 2ª Chamada dia 11/7)
  • Dias 19/7, 20/7 e 21/7 das 10h-12h (Horário dúvidas para o recurso dia 22-7-05)

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Programa


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Bibliografia/Material de apoio


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Sumários

  1. <21-2-05 >  Apresentação da disciplina;  Definição de  integral de Riemann; Algumas propriedades e exemplos (Lição1)
  2. <22-2-05>   Teorema fundamental do cálculo integral; Revisões sobre primitivas e funções inversas trignométricas; Resolução de exercícios
  3. <24-2-05>  Conclusão da aula anterior; Aplicações do integral definido: cálculo de áreas, volume de sólidos de revolução e comprimento de arco; (Lições2e3; Resolução dos exercícios pelos alunos
  4. <28-2-05>  Integração por partes e por substituição; Exemplos; Aplicação ao estudo do integral de funções ímpares e pares ( Lição4 )
  5. <01-3-05> Teorema da média. Integral indefinido: definição e propriedades fundamentais;  Resolução de exercícios (Licao5)
  6. <03-3-05>  Interpretação do integral  como variação acumulada; Integrais  impróprios: integrais de funções limitadas em domínios não limitados; Definição e exemplos
  7. <07-3-05>  Integrais de Dirichelet; Critérios de comparação para integrais de funções não negativas em intervalos não limitados; Exemplos (Lições6e7)
  8. <08-3-05>  Integrais de funções não limitadas: definição, integrais de Dirichelet e critérios de comparação; Regra de Cauchy; Aplicação da regra de Cauchy a vários tipos de indeterminações; Resolução de exercícios (Lição8)
  9. <10-3-05>  Resolução de exercícios sobre toda a matéria dada.
  10. <14-3-05>  Equações diferenciais (motivação): modelos de crescimento populacional em tempo contínuo de espécies isoladas;  Modelos de crescimento exponencial (modelo de Malthus) e modelos com limitação de crescimento (modelo de von Bertalanffy)  (Lição10)
  11. <15-3-05>  Modelos de crescimento dependente da densidade populacional:  equação  logística. Alguns exemplos de equações diferenciais com variáveis separáveis;  Resolução de exercícios (Lição11)
  12. <17-3-05>  Resolução de equações diferenciáveis com variáveis separáveis: caso das equações diferenciais temporais puras e das equações diferenciais autónomas (Lição12)
  13. <22-3-05>  Resolução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem pelo método do factor integrante.  Exemplos (Lição13)
  14. <23-3-05>  Teorema de existência e unicidade para o problema de Cauchy associado uma equação diferencial  linear de ordem n completa. Equação homogénea associada. Propriedades das soluções. Sistema fundamental de soluções. Resolução de exercícios.  (Lição14e15)
  15. <31-3-05> Determinação de um sistema fundamental de soluções de uma equação diferencial linear homogénea com coeficientes constantes.
  16. <04-4-05> Determinação de uma solução particular de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes pelo método da variação dos parâmetros
  17. <05-4-05> Resolução da ficha nº 1 ( Enunciado e resolução)
  18. <07-4-05> Determinação de uma solução particular de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes pelo método dos coeficientes indeterminados.
  19. <11-4-05> Conclusão da aula anterior. Resolução de exercícios (Lição1618e19)
  20. <12-4-05> Resolução da ficha  nº 2 (Enunciado e resolução)
  21. <14-4-05> Revisões sobre cónicas e classificação das quádricas (Lição21)
  22. <18-4-05> Funções reais de várias variáveis reais: domínio, gráfico, conjunto de nível e contradomínio (Lição22; Resolução  dos exercícios de quádricas, domínio, etc..., pelos alunos)
  23. <19-4-05> 1º Teste de Matemática II (Enunciado e resolução). Resolução de exercícios sobre a matéria dada na última aula 
  24. <21-4-05> Noção intuitiva de limite para funções a várias variáveis. Algumas propriedades  dos limites 
  25. <26-4-05> Limite da função composta. Limites direccionais. Resolução de exercícios (Lições 24 e 25)
  26. <28-4-05>Definição formal de limite e critério para a demonstração de existência de limite. Continuidade (Lição26 , Resolução  dos exercícios de continuidade pelos alunos)
  27. <02-5-05> Funções vectoriais. Exemplos: parametrizações de caminhos e campos vectoriais. Noções de limite e continuidade (Lição27)
  28. <03-5-05> Resolução de exercícios
  29. <05-5-05> Derivadas parciais: interpretação geométrica e definição. Exemplos (Exercicios até à matriz Jacobiana)
  30. <09-5-05> Derivadas parciais de ordem superior. Matriz jacobiana. Diferenciabilidade, plano tangente e linearização.
  31. <10-5-05> Diferenciabilidade (cont.). Funções de classe $C^k$. Relação entre $C^1$ e diferenciabilidade. Resolução de exercícios sobre a matéria até às funções vectoriais (Lições 29 30 e 31)
  32. <12-5-05> Derivada da função composta (Lição 32)
  33. <16-5-05> Derivada da função composta (cont.). Derivada direccional (Exercicios sobre diferenciabilidade e derivada da função composta)
  34. <17-5-05> Direcção de máximo crescimento, máximo decrescimento e variação nula de uma função. Exemplos. Resolução de exercícios  (Lições33e34)
  35. <19-5-05> Extremos locais e globais de funções de funções de uma e várias variáveis. Pontos críticos. Matriz hessiana. Teste da segunda derivada para a determinação dos extremos locais de funções de duas variáveis
  36. <23-5-05> Teste da segunda derivada para funções com  qualquer número  de variáveis. Exemplos e exercícios (Exercicios sobre a derivada direccional (taxa de variação) e extremos livres)
  37. <24-5-05> Teorema de Weierstrass. Determinação dos extremos globais  num caso simples (sem recorrer aos multiplicadores de Lagrange).  Integral duplo: noção intuitiva, somas de Riemann, propriedades operatórias, teorema de Fubini, conjunto elementar e mudança de ordem de integração 
  38. <30-5-05> Cálculo de áreas usando o integral duplo. Jacobiano. Teorema da  mudança de variável  no integral duplo. Cálculo de volumes usando uma mudança de variável para coordenadas polares. Resolução de exercícios da ficha nº 3
  39. <31-5-05> >Conclusão da aula anterior. Resolução de exercícios da ficha nº 3 (Lições 37 38 e 39)
  40. <02-6-05> (Última aula) Resolução de exercícios da ficha nº 3 (Enunciado da ficha nº 3 com resolução de alguns dos exercícios)