MATEMÁTICA e ESTATÍSTICA 

2º Ciclo em Engenharia do Ambiente

Semestre I - 2008/2009

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AVISOS:

Destinatários:

Estudantes do 2º Ciclo em Engenharia do Ambiente

Objectivos:

Esta disciplina visa complementar a formação básica dos alunos em Estatística e em Matemática.

A formação em Estatística tem como objectivo desenvolver o estudo do Modelo Linear (Regressão Linear e Análises de Variância e Covariância), bem como dos métodos não-paramétricos fundamentais.

A formação em Matemática visa introduzir os alunos nas áreas de Equações Diferenciais, Equações às  Diferenças e  de Sistemas Dinâmicos, munindo-os de uma importante ferramenta, essencial ao estudo e modelação de diversos fenómenos naturais.

Pretende-se que os alunos adquiram formação tanto teórica como aplicada nas várias matérias (As aplicações serão com recurso a software estatístico e numérico).

Pré-requisitos:

 Álgebra, Análise e Estatística ao nível dos 1os Ciclos do ISA.

Carga lectiva:

14 semanas, 2 aulas TP por semana de 2h30.

Avaliação:

Por Testes
    2 testes, o 1º dos quais  a meio do semestre e o 2º coincidente com a 1ª data de Exame.
    Ficará aprovado todo o aluno que obtenha a nota mínima de 8 valores em cada teste, devendo a média das duas classificações ser não inferior a 9.5 (em 20 valores).
    O aluno que tendo optado por fazer o 2º teste não consiga aprovação, poderá comparecer à  2ª data de Exame.

Por Exame Final 

Docentes:

 

Atendimento
 a alunos:
  Devido ao reduzido número de alunos na disciplina, os horários de dúvidas são combinados directamente com os Professores

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Programa

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Bibliografia


Kutner, M.H.; Nachtsheim, C.J.; Neter, J. e Li, W. (2005), Applied Linear Statistical Models, Irwin [BISA: U10-727 e CD-236]

Draper and Smith (1998), Applied Regression Analysis, John Wiley & Sons [BISA: U10-734] + [SI-78] (diskette)
([BISA: U10-412] a primeira edição de 1981)
Montgomery, D.C. e Peck, E.A. (1982), Introduction to Linear Regression Analysis, John Wiley & Sons [BISA: U10-329]

Seber, G.A.F. (1977), Linear Regression Analysis, John Wiley & Sons [BISA: U10-416]

 


Docentes da disciplina de Estatística (2008/09), Introdução à Aplicação R.

Maindonald, J. e Brown, W.J. (2003), Data Analysis and Graphics using R, Cambridge University Press [BISA: U10-722]

Torgo, L. (2006) Introdução à Programação em R .

Venables, W.N. e Ripley, B.D. (2002), Modern Applied Statistics with S (fourth edition), Springer-Verlag [BISA: U10-733]

       





      




Material de apoio às aulas


- Estatística -
  • Slides

      •


  • Exercícios das aulas práticas
  • Enunciados de provas realizadas no decurso do ano lectivo 2008-09:
  • Alguns Exercícios com resoluções
  • Formulário da disciplina de Matemática e Estatística
  • Formulário da disciplina de Estatística
  • Tabelas da disciplina de Estatística (Binomial, Poisson, Normal, t-Student, Qui-quadrado, F)



    •
    - Matemática -

    • Exercícios das aulas práticas


    • Apontamentos das aulas
        • Sistemas dinâmicos discretos e contínuos (versão beta)



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    Sumários

     

    1.    (2ªf., 15 Setembro) [Slides 1-7] Aula de apresentação. Programa e bibliografia. Avaliação de conhecimentos. Revisão do software R: conceitos básicos: escalares, vectores, factores, matrizes, data frames, listas e funções; indexação.
      Exercícios de Regressão Linear Simples: Exercício 4 (revisão das fórmulas para o declive e ordenada na origem da recta de regressao de y sobre x).
    2.   (5ªf., 18 Setembro) [Slides 8-28] Revisão dos conceitos fundamentais da regressão linear simples enquanto técnica descritiva: fórmulas dos parâmetros da recta de regressão; conceito de resíduo e de valor ajustado da variável y; as três somas de quadrados e a relação entre elas; o coeficiente de determinação. Formulação do problema da inferência estatística na regressão linear simples. O Modelo de regressão linear simples: pressupostos e primeiras consequências. Os estimadores dos parametros da recta teórica. A distribuição desses estimadores no contexto do Modelo de Regressão Linear Simples.
      Exercícios de Regressão Linear Simples: Exercício 2, alíneas a),b),c),d) (parcial) e f). TPC: Completar o exercício 2.
    3. (2ªf., 22 Setembro) [Slides 29-35] A estimação da variância dos erros aleatórios através do Quadrado Médio Residual (QMRE). Distribuições associadas aos estimadores de alfa e beta, substituindo a variância dos erros aleatórios pelo seu estimador. Intervalos de confiança para o declive beta da recta de regressão populacional.
      Exercícios de Regressão Linear Simples: Conclusão do exercício 2 e Exercícios 3, 5 e 6. TPC: Ex. 7 e 8
    4. (5ªf., 25 Setembro) [Slides 36-44] Intervalos de confiança para a ordenada na origem (alfa) da recta de regressão populacional. Revisão da relação entre grau de confiança e precisão (amplitude) de um intervalo de confiança. Testes de hipóteses: revisão de conceitos e testes de hipóteses para alfa e beta. Testes bilaterias e unilaterais. O valor p de uma estatística. Testes de hipóteses no software R.
      Exercícios de Regressão Linear Simples: Exercícios 8 e 10.
    5. (2ªf., 29 Setembro) [Slides 45-53] Intervalos de confiança no software R. A inferência sobre o valor esperado de Y, dado um valor de x: estimador e sua distribuição, intervalos de confiança. A banda de confiança em torno da recta de rgressão. Intervalos de predição para uma observação individual de Y, dado x.
      Exercícios de Regressão Linear Simples: Exercícios 11,12,15,13a)b)c)d)e).
    6. (5ªf., 2 Outubro) [Slides 54-76] A inferencia sobre E[Y|x] no R. O teste de ajustamento global do modelo (teste F): a motivação, as hipóteses, a estatística do teste e sua distribuição sob H_0. A natureza da Região Crítica. A formulação alternativa do teste de ajustamento, em termos do coeficiente de determinação. A necessidade de estudar a validade dos pressupostos do modelo e o papel dos resíduos nesse estudo. A distribuição dos resíduos no modelo de regressão linear simples. Três variantes de resíduos e sua motivação. A utilização dos resíduos na validação dos pressupostos do modelo: gráficos de resíduos contra valores ajustados de Y; histogramas ou qq-plots de resíduos; gráficos de resíduos vs. ordem de observação. Exemplos de problemas indiciados por esses gráficos. Transformações estabilizadoras da variância e algumas prevenções sobre a sua utilização. A possibilidade de ajustar relações não-lineares com recurso à regressão linear simples. Exemplos de transformações linearizantes de relações não lineares: (i) a relação exponencial (natureza e motivação, transformação linearizante).
      Exercícios de Regressão Linear Simples: Exercícios 13d)e)f)g)i), 16. TPC: completar 13)g)
    7. (2ªf., 6 Outubro) [Slides 77-81] Exemplos de transformações linearizantes de relações não lineares: (ii) a relação logística (natureza e motivação, transformação linearizante); (iii) a relação potência ou alométrica (natureza e motivação, transformação linearizante);(iv) a relação hiperbólica ou inversamente proporcional (natureza e motivação, transformação linearizante); (v) relações de tipo Michaelis-Menten (natureza e motivação, transformação linearizante).
      Exercícios de Regressão Linear Simples: Exercício 18. TPC: 17) e 19).
    8. (5ªf., 9 Outubro) [Slides 82-112] A Regressão Linear Múltipla. Conceitos introdutórios. A representação gráfica de n pontos (observações) no espaço definido pelas p variáveis preditoras e variável resposta: dificuldades de visualização para p>2. Representações de projecções da nuvem de n pontos nos planos coordenados e suas limitações. A notação matricial para representar a modelação das n observações. Uma representação gráfica alternativa: vectores em R^n, com cada vector representando uma variável. O critério de minimizar a soma de quadrados equivalente, em termos geométricos, à projecção ortogonal do vector y no subespaço de R^n gerado pelas variáveis preditoras. A matriz H de projecções ortogonais. A fórmula para ajustar os p+1 parâmetros que definem a relação base E[Y]=beta_0+ beta_1 x_1 + ... + beta_p x_p. As três Somas de Quadrados. A relação entre as Somas de Quadrados como uma aplicação do Teorema de Pitágoras. O Coeficiente de Determinação: natureza e propriedades. O problema da regressão linear múltipla num contexto inferencial. O Modelo da Regressão Linear Múltipla. Vectores aleatórios: conceito e propriedades de vectores esperados e de matrizes de variâncias-covariâncias.
      Exercícios de Regressão Linear Múltipla Exercícios 3, 1)a)b)c). TPC: 1)e)
    9. (2ªf., 13 Outubro) [Slides 113-116] A distribuição Normal Multivariada (Multinormal): definição, aspecto gráfico da Binormal. Principais propriedades da distribuição Normal Multivariada. A formulação do Modelo de Regressão Múltipla em notação matricial.
      Exercícios de Regressão Linear Múltipla: Exercícios 1)d), 2, 4)a)b)c)d)
    10. (5ªf., 16 Outubro) [Slides 117-137] Regressão Linear Múltipla (cont.). Primeiras consequências do Modelo de Regressão Múltipla. A distribuição do vector de estimadores (beta chapéu). O problema da variância desconhecida dos erros aleatórios: a estimação dessa variância e distribuição associada. Intervalos de confiança para cada parâmetro individual (beta_i). Testes de hipóteses para cada parâmetro individual (beta_i). Inferência (intervalos de confiança e testes de hipóteses) para qualquer combinação linear dos parâmetros. Três casos particulares de combinações lineares dos parâmetros.
      Exercícios de Regressão Linear Múltipla: Exercício 4)e)
    11. (2ªf., 20 Outubro) [Slides 138-146] O teste F de ajustamento global do modelo: natureza das hipóteses, estatística do teste, sua distribuição e região crítica. O quadro-resumo da regressão. Introdução ao problema de modelos e submodelos: o princípio da parcimónia e sua aplicação no contexto da regressão linear múltipla. As hipóteses para comparar um modelo e um submodelo.
      Exercícios de Regressão Linear Múltipla: Exercício 4)f)g)h)i)
    12. (5ªf., 23 Outubro) [Slides 147-169] O teste F parcial, comparando um modelo e um seu submodelo: natureza das hipóteses, estatística do teste, sua distribuição e região crítica. O problema da escolha do submodelo: razões teóricas, razões práticas e razões estatísticas. Algoritmos de selecção de submodelos. Os algoritmos de exclusão sequencial, de inclusão sequencial e alternados, baseados nos testes t à significância dos parâmetros beta. O critério AIC e a sua utilização nos algoritmos de selecção. Algoritmos de selecção no software R.
      Exercícios de Regressão Linear Múltipla: Exercício 6. TPC: Exercício 5
    13. (2ªf., 27 Outubro) [Slides 170-185] A Análise de Resíduos. Distribuição dos resíduos, sob o modelo de Regressão Linear Múltipla. Três tipos de resíduos. Gráficos de resíduos para estudar os pressupostos do modelo. Observações atípicas, observações influentes e observações alavanca. Três advertências finais.
      Exercícios de Regressão Linear Múltipla: Exercício 7,9. TPC: Exercício 8,10
    14. (5ªf., 30 Outubro) [Slides 186-215] A Análise de Variância a um factor: conceitos introdutórios, definição do problema, definição do Modelo. Relações com a Regressão Linear Múltipla. O teste aos efeitos dos níveis do factor como teste de ajustamento global do modelo. ANOVAs e o software R.
      Exercícios de ANOVA: Exercício 1a)b)c)d).
    15. (2ªf., 3 Novembro) [Slides 216-230] A Análise de Variância a um factor: comparações múltiplas de médias. Os testes e intervalos de confiança de Tukey. Sua justificação e aplicação. Abordagem no software R.
      Exercícios de ANOVA: Exercício 1e)f)g)h)i).
    16. (5ªf., 6 Novembro) [Slides 231-243] A Análise de Variância a um factor: a validação dos pressupostos do modelo. Análise de Resíduos. Teste de bartlett à homogeneidade das variâncias em cada nível do factor. Alguns comentários finais.
      Exercícios de ANOVA: Exercícios 2, 3.
      17. AVISO: Esta foi a última aula da primeira parte da matéria (Estatística)
      1. (2ªf., 10 Novembro) Não houve aula por falta de comparência dos alunos.
      2. (5ªf., 13 Novembro) Equações às diferenças no contexto dos sistemas dinâmicos discretos:  motivação, terminologia e exemplos (crescimento exponencial, equação logística discreta e equação de Fibonacci). Estudo das equações lineares de 1ª ordem (homogéneas). Solução constante e órbita periódica de uma equação de 1ª ordem. Representação gráfica de uma órbita recorrendo ao método cobweb. Visualização destas órbitas recorrendo ao programa informático de computação numérica SciLab.
      3. (2ªf., 17 Novembro) Revisão de alguns conceitos dados na aula anterior. Determinação dos pontos fixos de uma função real de variável real. Estabilidade de um ponto fixo. Linearização de uma equação às diferenças na vizinhança de um ponto fixo hiperbólico. Bacia de atraccão. Determinação das órbitas periódicas de uma equação às diferenças. Exemplos.
      4. (5ªf., 20 Novembro)  Estabilidade e expoente de Lyapunov de um k-ciclo. Estudo e algumas propriedades simples da dinâmica da equação logísitica discreta.
      5. (3ªf., 25 Novembro) Conclusão do estudo da dinâmica da equação logística discreta (bifurcação dos atractores estáveis com duplicação de período, número de Feigenbaum, diagrama de bifurcação, teorema de Sharkovskii, caos!). Visualização de alguns aspectos desta dinâmica recorrendo ao programa de computação numérica SciLab. Sistemas dinâmicos contínuos e equações diferenciais: motivação e um primeiro exemplo (equação de Torricelli de escoamento de um fluido através de um orifício num tanque). 
      6. (5ªf., 27 Novembro) Modelação de problemas com recurso às equações diferenciais em diversas áreas tais como  Física (lei de arrefecimento de Newton e decaimento radioactivo),  Hidrologia e Ambiente (modelação de um  problema de poluição num lago)  e Ecologia: modelos de Malthus (crescimento exponencial) e Verhulst (crescimento logístico).
      7. (3ªf., 2 Dezembro) Sistematização de conceitos e terminologia sobre equações diferenciais (EDOs, EDPs, solução geral e particular de uma equação, problema de valores iniciais, etc...). Equações com variáveis separáveis: equação temporal pura, equação autónoma, caso  geral. Propriedades e resolução de equações diferenciais com variáveis separáveis. 
      8. (5ªf., 4 Dezembro) Resolução de exercícios de equações às diferenças. Abordagem de alguns exercícios no software Scilab.
      9. (3ªf., 9 Dezembro) Conclusão da aula sobre equações diferenciais com variáveis separáveis. Aplicação: determinação da solução analítica da equação logística. Equações diferenciais lineares e equação homogénea associada. Resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem pelo método do factor integrante. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem pelo método de Euler (progressivo). Abordagem deste método num exemplo concreto, recorrendo a uma folha de cálculo.
      10. (5ªf., 11 Dezembro) Sistemas de equações diferenciais ordinárias (de primeira ordem): alguma terminologia e notação. Exemplos: modelos de interacção de duas espécies e exemplos de sistemas de equações diferenciais que provêm de equações diferenciais ordinárias de ordem superior a um. Sistemas lineares: notação matricial; sistema fundamental de soluções; teorema de existência e unicidade para sistemas lineares.
      11. (3ªf., 16 Dezembro) Breve revisão sobre valores e vectores próprios de uma matriz. Resolução de sistemas lineares de ordem n com coeficientes constantes (homogéneos) quando  a matriz do sistema admite n valores próprios (reais) distintos. Exemplos. Sistemas autónomos (não lineares): curva integral, órbita, espaço de fase, diagrama de fase, etc...Teorema de existência e unicidade para sistemas autónomos. Intervalo maximal de solução e fluxo de um sistema autónomo. Ponto de equilíbrio de um sistema autónomo e sua estabilidade. Determinação da estabilidade dos pontos fixos hipérbolicos de uma equação autónoma. Exemplos: o modelo logístico revisitado.
      12. (5ªf., 18 Dezembro - última aula) Estabilidade dos pontos de equilíbrio de sistemas lineares bidimensionais na presença de valores próprios reais e complexos (nós, focos, pontos sela e centros). Exemplos. Determinação da estabilidade de um ponto de equilíbrio de um sistema linear recorrendo ao traço e ao determinante da matriz do sistema: diagrama de bifurcação. Estabilidade de um ponto hiperbólico de um sistema autónomo bidimensional (não linear).




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