MATEMÁTICA e
ESTATÍSTICA
2º Ciclo em
Engenharia
do
Ambiente
Semestre I - 2009/2010
AVISOS:
- (28 Fev 09) De acordo com o
Calendário de Exames elaborado pelo Conselho
Pedagógico do ISA, o exame da época de
Trabalhadores-Estudantes realiza-se no dia 2 de Março, pelas
10h00.
- (16 Dez. 09)
De acordo com o Calendário de Exames elaborado pelo Conselho
Pedagógico do ISA, as duas chamadas de exame realizam-se nos
dias 15 de Janeiro (sexta-feira) e 1 de Fevereiro (segunda-feira) de
2010. O segundo teste realiza-se em conjunto com a primeira chamada de
exame. Nas duas datas as provas terão início às
9h30. As folhas de inscrição para o segundo teste e a
primeira data de exames estão afixadas no placard junto ao
Departamento de Matemática. Os alunos que pretendam comparecer a
uma das referidas provas deverão proceder à sua
inscrição até ao dia 13 de Janeiro (quarta-feira).
- (30 Nov. 09)
As classificações do Primeiro Teste encontram-se aqui. Os testes podem ser vistos na
quinta-feira, dia 3 de Dezembro, das 14h30 às 15h00.
- (13 Nov. 09)
A partir da próxima semana (semana com início a 16 de
Novembro), as aulas serão asseguradas pelo Prof. Pedro Silva.
Atenção à mudança de salas das aulas
teóricas, que passam a realizar-se nas salas:
- Terças-feiras, das 8h15 às 9h15: Sala S3
- Sextas-feiras, das 11h30 às 13h00: Sala P10
As aulas práticas continuarão a
ter lugar na Sala P11A (terças-feiras, das 9h15 às
11h45).
- (3 Nov. 09)
A folha de inscrições para o teste de dia 13 de Novembro
está afixada no placard junto ao Departamento de
Matemática. Todos os alunos que queiram comparecer para realizar
o teste devem inscrever-se até quarta-feira, dia 11 de Novembro.
A matéria para o primeiro teste da disciplina de
Matemática e Estatística é a matéria de
Regressão Linear (Simples e Múltipla) e de Análise
de Variância, isto é, a matéria que vai até
ao Acetato 268 das aulas teóricas (inclusivé).
- (28 Set. 09) A turma prática de Matemática e
Estatística passa a funcionar em separado, nas horas e sala
previstas no horário, ou seja, terça-feira das 9h15
às 11h45, na Sala P11A.
- (24 Set. 09) Está-se a procurar separar a turma
prática de Matemática e Estatística, de forma a
que possa funcionar nas horas e sala previstas no horário. A
confirmação dessa possibilidade será feita na aula
teórica de terça-feira dia 29 de Setembro.
|
Destinatários:
|
Estudantes do
2º Ciclo em Engenharia do Ambiente
|
|
Objectivos:
|
Esta disciplina visa
complementar a formação
básica dos alunos em Estatística e em Matemática.
A
formação em Estatística tem como objectivo
desenvolver o estudo do Modelo Linear (Regressão Linear e
Análises de Variância
e Covariância), bem como dos métodos
não-paramétricos fundamentais.
A
formação em Matemática visa introduzir os alunos
nas áreas de Equações Diferenciais,
Equações às
Diferenças e de Sistemas
Dinâmicos, munindo-os de uma
importante ferramenta, essencial ao estudo e modelação de
diversos fenómenos
naturais.
Pretende-se que os
alunos adquiram formação tanto
teórica como aplicada nas várias matérias (As
aplicações serão com recurso a
software estatístico e numérico).
|
|
Pré-requisitos:
|
Álgebra, Análise e
Estatística ao nível dos 1os Ciclos do ISA. |
|
Carga lectiva:
|
14 semanas, sendo a
carga semanal constiuída por 2 aulas teóricas de 1h e
1h30 e uma aula prática de 2h30.
|
|
Avaliação:
|
Por Testes
2 testes, o 1º dos
quais a meio do
semestre e o 2º coincidente com a 1ª data de Exame.
Ficará aprovado todo o aluno que obtenha a
nota mínima de 8 valores em cada teste, devendo a média
das duas
classificações ser não inferior a 9.5 (em 20
valores).
O aluno que tendo optado por fazer o 2º teste
não consiga aprovação, poderá comparecer
à 2ª data de Exame.
Por Exame Final
|
|
Atendimento
a alunos:
|
- Prof. Jorge Cadima -
3ª e 4ª feiras, das 15h
às 16h
- Prof. Pedro Silva - a combinar
pessoalmente
com
os
alunos
devido ao seu
reduzido número
|
|
Sumarios:
|
|
Programa
- Objectivos
- Regressão
Linear Simples e Múltipla
- Conceitos de
delineamento experimental
- Análise
de variância
de efeitos fixos: os modelos
a
um e a
vários factores
- Sistemas
dinâmicos discretos
- Equações
às
diferenças:
motivação
e
exemplos
fundamentais
- Estabilidade
dos pontos fixos e órbitas
periódicas de um sistema de 1ª ordem
- Comportamento
caótico na equação logística discreta
- Sistemas
dinâmicos contínuos
- Motivação:
modelação
de
fenómenos
naturais
com
recurso
às
equações
diferenciais
- Equações
diferenciais
com
variáveis
separáveis
e
equações
diferenciais
lineares
de 1ª ordem
- Estabilidade e
comportamento de uma solução a longo prazo
- Conceitos
fundamentais de sistemas dinâmicos autónomos
- Classificação
dos
pontos
de
equilíbrio
de
sistemas
lineares
bidimensionais
- Linearização
de
um
sistema
na
vizinhança
de
um
ponto hiperbólico:
Teorema de Hartman-Grobman
- Comportamento
caótico num
sistema tridimensional: o atractor de Lorenz
Bibliografia
- Referência Base (de
Estatística)
Kutner, M.H.; Nachtsheim, C.J.; Neter,
J. e Li, W. (2005), Applied Linear Statistical Models,
Irwin [BISA: U10-727 e CD-236]
- Outras referências (de
Estatística)
Draper and Smith (1998), Applied
Regression Analysis, John Wiley & Sons [BISA:
U10-734]
+
[SI-78]
(diskette)
([BISA: U10-412] a primeira edição de 1981)
Montgomery, D.C. e
Peck, E.A. (1982), Introduction to
Linear Regression Analysis, John Wiley & Sons [BISA: U10-329]
Seber, G.A.F. (1977),
Linear
Regression Analysis, John Wiley & Sons [BISA: U10-416]
- Referências de apoio à
utilização do R
Maindonald, J. e Brown, W.J. (2003), Data Analysis and Graphics
using R, Cambridge University Press [BISA: U10-722]
Venables, W.N. e Ripley, B.D. (2002), Modern
Applied
Statistics
with
S
(fourth
edition), Springer-Verlag [BISA:
U10-733]
- Referências (de
Matemática)
- J. Hale e H. Koçak,
(1991), Dynamics and Bifurcations.
Text in Applied
Mathematics, 3, Springer-Verlag.
- P.Blanchard, R. L. Devaney e G.R. Hall
(1998), Differential Equations,
Brooks/Cole
Publishing
Company
- G. Fulford, P. Forrester e A. Jones (1997), Modelling with Differential and
Difference Equations, Australian Mathematical Society Lectures
Series 10, Cambridge
University Press
- Daniel Kaplan e Leon Glass (1995), Understanding Nonlinear Dynamics,
Springer-Verlag
Material de apoio às aulas
Enunciados de provas
realizadas no decurso do ano lectivo 2009-10:
- Estatística -
- Exercícios das aulas
práticas
Sumários
(Matemática)
- (T:17-11-09)
Conceitos gerais sobre sistemas dinâmicos discretos e
contínuos. Equações às diferenças:
motivação e exemplos (modelos exponencial, logistico e
Fibonacci). Órbita gerada por uma semente. Diagrama cobweb.
Ponto fixo da dinâmica. Equações às
diferenças lineares de primeira ordem.
- (P:17-11-09)
Resolução dos exercícios 1-6 e 8 das folhas.
- (T:20-11-09)
Noções de ponto periódico de período
mínimo k e k-ciclo. Noção de estabilidade de
pontos fixos e ciclos. Determinação da estabilidade de
pontos fixos hiperbólicos. Determinação da
estabilidade de um k-ciclo via expoente de Lyapunov.
- (T:24-11-09)
Conclusão da aula anterior. Dinâmica da logística
discreta: bifurcação dos atractores estáveis
com duplicação de período, diagrama de
bifurcação, teorema de Sharkosvkii e dinâmica
caótica.
- (P:24-11-09)
Resolução dos exercícios 7; 9; 11 e 14.
- (T:04-12-09)
Conclusão da aula anterior. Equações diferenciais:
motivaçao, terminologia (ordem, EDO e EDP, solução
geral e particular, PVI, etc...) e formulação de
diversos problemas com crescimento exponencial.
Resolução
de algumas equações diferenciais simples.
- (T:01-12-09) Feriado
- (P:01-12-09) Feriado
- (P:02-12-09) Aula
extra de substituição da P:01-12-09.
Resolução dos exercícios 10 (a), (e); 12 (f); 13 e
15 (a)
- (T:04-12-09)
Formulação de problemas não lineares de
equações diferenciais (equação de Torricelli e modelo
logístico). Resolução de
equações ODE no software estatístico R. Equação com
variáveis separáveis: determinação das
soluções constantes e não constantes
(via a separação de variável dependente e
independente). Noções de estabilidade de
soluções de equilíbrio de uma
equação autónoma vs comportamento das
soluções a longo prazo. Retrato de fase de uma
equação autónoma
- (T:08-12-09) Feriado
- (P:08-12-09) Feriado
- (T:11-12-09) Sistemas
de equações diferenciais ordinárias (de ordem um):
alguma terminologia (definição, notação
vectorial, solução geral, PVI) e exemplos (modelos de
competiçao e de predaçao de Lotka-Volterra, sistemas que
provêm de equações diferenciais de ordem superior).
Campo vectorial e sistema autónomo. Teorema de existência
e unicidade para sistemas autónomos definidos por campos
vectoriais de classe C1. Elementos da análise
qualitativa do plano/espaço de fase: trajectória, curva
integral, órbita e retrato de fase. Estabilidade dos pontos de
equilíbrio de um sistemas autónomo
- (T:15-12-09)
Determinação das isoclinas
nulas e pontos de equilíbrio e de um sistema planar
autónomo. Determinação da estabilidade
dos pontos de equilíbrio hiperbólicos de um sistema
(não linear) de
equações autónomas, através da
linearização do sistema (matriz Jacobiana).
Exemplificação
destes conceitos no modelo de competição de Lotka-Volterra. Sistemas de
equações lineares: alguma terminologia.
Determinação de um sistema fundamental de
soluções de um sistema linear homogéno com
coeficientes constantes, quando a matriz do sistema é
diagonalizável com valores próprios (reais) distintos.
Aplicação às equações diferenciais
lineares de ordem superior
- (P:15-12-09)
Resolução dos exercícios 17 (a), (d); 18; 20: 26;
29; 30 + 31 (a); 35 (a); 36; 37 e 38
- (T:18-12-09)
*Última aula* Classificação dos pontos de
equilíbrio de um sistema linear com coeficientes constantes
(nó, foco, ponto sela e centro). Diagrama de
bifurcação traço vs determinante (NOTA: conforme
ficou acordado com os alunos, esta aula foi antecipada para o dia
15-12-09)